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从Hermite插值公式推导Smoothstep插值公式

Posted on 2014-06-23 12:12 魔のkyo 阅读(1542) 评论(0)  编辑 收藏 引用 所属分类: Math
shader里面有个函数叫smoothstep,是用来做平滑插值的,dx的文档对其介绍如下

smoothstep (DirectX HLSL)

Returns a smooth Hermite interpolation between 0 and 1, if x is in the range [min, max].

ret smoothstep(min, max, x)

Parameters

min

[in] The minimum range of the x parameter.

max

[in] The maximum range of the x parameter.

x

[in] The specified value to be interpolated.

Return Value

Returns 0 if x is less than min; 1 if x is greater than max; otherwise, a value between 0 and 1 if x is in the range [min, max].

Remarks

Use the smoothstep HLSL intrinsic function to create a smooth transition between two values. For example, you can use this function to blend two colors smoothly.

可以看介绍里说了,Smoothstep就是使用的Hermite插值,
三次Hermite插值公式是 P(t) = (2*t^3 - 3*t^2 + 1)P0 + (t^3 - 2*t^2 + t)M0 + (t^3 - t^2)M1 + (-2*t^3 + 3*t^2)P1
其中P0是起始点,P1是终结点,M0是起始点处的方向,M1是终结点处的方向。参数t从0变化到1的过程中P(t)形成的轨迹构成了从P0到P1的平滑曲线,而且这个曲线两端顶点处的切向量就是M0,M1,还要说明的就是M0,M1的大小会影响到曲线的形状,可以把这个过程想象成一个机车从P0开到P1,M0,M1更像是速度的表示,当M0比较大时,在P0附近的曲线会沿M0方向冲出去更多一些才会弯曲。
Smoothstep插值的公式是Smoothstep(t) = -2*t^3 + 3*t^2,对于dx文档中的参数,我们可以使用t = (x-min) / (max-min)先计算得到t再使用前面的公式。
为什么Smoothstep的公式比Hermite简化的这么多,我尝试推导了一下,
把(0,0)代入P0,(1,1)代入P1,(1,0)代入M0,(1,0)代入M1,
用Px(t)表示Hermite插值的x分量,Py(t)表示Hermite插值的y分量,则有
Px(t) = (2*t^3 - 3*t^2 + 1)0 + (t^3 - 2*t^2 + t)1 + (t^3 - t^2)1 + (-2*t^3 + 3*t^2)1
      = t
Py(t) = (2*t^3 - 3*t^2 + 1)0 + (t^3 - 2*t^2 + t)0 + (t^3 - t^2)0 + (-2*t^3 + 3*t^2)1
      = -2*t^3 + 3*t^2
再把参数t消掉就可以得到Py = -2*Px^3 + 3*Px^2,和Smoothstep插值公式是一致的。:P
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