完全数与梅森素数

魔のkyo — Sun, 03 Aug 2008 13:35:00 GMT

定义：若n的真因子的和等于n，则称n为完全数。

例：6有真因子1,2,3，1+2+3=6，所以6是完全数。

定理：若p=2^n-1为素数，则p*(p+1)/2是偶完全数，且无其它偶完全数存在。（这意味着下文讲提到的"梅森素数"和"偶完全数"有一一对应关系）

奇完全数尚未被发现，是否有奇完全数存在是至今尚未解决的数论难题。

事实上，可以证明2^n-1为素数时，n也必是素数，不妨将n记为p0，形如p=2^p0-1的素数又称为梅森素数。

梅森数，即形如2^n－1的数,常记做Mn。如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2^P－1型素数）,常记做Mp.

1930年，美国数学家雷默改进了鲁卡斯的工作，给出了一个针对Mp的新的素性测试方法，即鲁卡斯-雷默方法：Mp＞3是素数的充分必要条件是

L(p-2)=0 ModMp，其中L(0)=4，L(n+1)=(L(n)*L(n)－2)ModMp。

这一方法直到今天的“计算机时代”仍发挥重要作用。
(p=2,M2=2^2-1=3是素数，但L(2-2)=4 ModM2=1，是特例)

//输出所有[2,MAXN]内的完全数。
#include <iostream>
using namespace std;

#define MAXN 1000

//返回第n个梅森数Mn是否是素数
bool isMersennePrime(int Mn,int n)
{
    if(n==2)return 1;
    static int L[32];
    L[0]=4;
    for(int i=1;i<=n-2;i++){
        L[i]=(L[i-1]*L[i-1]-2)%Mn;
    }
    return L[n-2]==0;
}

int main()
{
    for(int i=2,k=4;(k-1)<=2*MAXN/k ; k<<=1,i++){
        int Mi=k-1;
        if(isMersennePrime(Mi,i)){
            printf("%d\n",Mi*(Mi+1)/2);
        }
    }
}

从下表中可以看出梅森素数是相当少的，在int范围内完全可以手动打表

有意思的是int范围内最大的数2^31-1恰好是一个梅森素数

序号	梅森素数	位数	发现时间
1	M2	1	公元前300
2	M3	1	公元前300
3	M5	2	公元前100
4	M7	3	公元前100
5	M13	4	15世纪中叶
6	M17	6	1603
7	M19	6	1603
8	M31	10	1772
9	M61	19	1883
10	M89	27	1911
11	M107	33	1914
12	M127	39	1876
13	M521	157	1952
14	M607	183	1952
15	M1279	386	1952
16	M2203	664	1952
17	M2281	687	1952
18	M3217	969	1957
19	M4253	1281	1961
20	M4423	1332	1961
21	M9689	2917	1963
22	M9941	2993	1963
23	M11213	3376	1963
24	M19937	6002	1971
25	M21701	6533	1978
26	M23209	6987	1979
27	M44497	13395	1979
28	M86293	25962	1983
29	M110503	33265	1988
30	M132049	39751	1983
31	M216091	65050	1985
32	M756839	227832	1992
33	M859433	258716	1995
34	M1257787	378632	1996
35	M1398269	420921	1996
36	M2976221	895933	1997
37	M3021377	909526	1998
38	M6972593	2098960	1999
？	M13466917	4053946	2001
？	M20996011	6320430	2003
？	M24036583	7235733	2004

魔のkyo 2008-08-03 21:35 发表评论

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