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[转]RMQ问题以及ST算法

Posted on 2007-08-29 22:22 魔のkyo 阅读(2224) 评论(6)  编辑 收藏 引用 所属分类: Algorithm
 
       RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题是求区间最值问题。你当然可以写个O(n)的(怎么写都可以吧=_=),但是万一要询问最值1000000遍,估计你就要挂了。这时候你可以放心地写一个线段树(前提是不写错)O(logn)的复杂度应该不会挂。但是,这里有更牛的算法,就是ST算法,它可以做到O(nlogn)的预处理,O(1)!!!地回答每个询问。
       来看一下ST算法是怎么实现的(以最大值为例):
      
       首先是预处理,用一个DP解决。设a[i]是要求区间最值的数列,f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。f[1,2]=5,f[1,3]=8,f[2,0]=2,f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样,Dp的状态、初值都已经有了,剩下的就是状态转移方程。我们把f[i,j]平均分成两段(因为f[i,j]一定是偶数个数字),从i到i+2^(j-1)-1为一段,i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段
(长度都为2^(j-1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。f[i,j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1]).
    
接下来是得出最值,也许你想不到计算出f[i,j]有什么用处,一般毛想想计算max还是要O(logn),甚至O(n)。但有一个很好的办法,做到了O(1)。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值,就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间,因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况,就是把区间[l,r]分成两个长度为2^n的区间(保证有f[i,j]对应)。直接给出表达式:
k:=(int)(ln(r-l+1)/ln(2));
ans:=max(F[l,k],F[r-2^k+1,k]);
这样就计算了从i开始,长度为2^t次的区间和从r-2^i+1开始长度为2^t的区间的最大值(表达式比较烦琐,细节问题如加1减1需要仔细考虑

另外还有一篇《RMQ问题和LCA问题》http://blog.sina.com.cn/s/blog_40d4357f010004ug.html

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2007-09-20 10:37 by BNJ
牛人
膜拜

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2007-10-30 23:43 by sifawood
请问,F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-i),j-1])
是否应该是
F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1])?

2^(j-i)没有意义啊?

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2007-11-02 16:12 by kyo
F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1])恩对,可能原作者笔误,我没注意

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2008-04-18 14:38 by lsz
牛啊!

# re: [转]RMQ问题以及ST算法[未登录]  回复  更多评论   

2008-10-05 22:53 by bluesky
错误:k:=ln(l(r-l+1)/ln(2));
改为:k:=ln(r-l+1)/ln(2);

# re: [转]RMQ问题以及ST算法  回复  更多评论   

2012-01-21 14:41 by 朱洽超
好神奇,谢谢了
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