Definition of f_max:       Frequency at which power gain is dropped to 1 (0dB)

3.1 Calculation of f_T

Assumptions: 1) Drain is short to ground; 2) Input current source is ideal (no parallel resistance); 3) Ignore the feed-through current to output by C_gd; 4) C_gd is considered only in input impedance calculation

,  à

 à                                                                   (3.01)

Fig 3.1 f_T Calculation

3.2 Calculation of f_max

Assumptions: 1) Drain is short to ground; 2) Input and output are conjugate matching; 3) The series gate resistance of M1 is r_g; 5) Ignore the feed-through current by C_gd; 6) Consider feedback current by C_gd in output impedance calculation.

Fig 3.2 f_max Calculation

Firstly, calculate the real part of output impedance according to Fig 3.2(c):

 à  à  (3.02)

Input/output power and power gain is:

 à                                               (3.03)

Therefore, the maximum operation frequency of MOS transistor is:

In some old microwave text books the Greek lowercase letter sigma () is used to denote VSWR. We don't use this at Microwaves101.

Here's an index to our material on VSWR:

Slotted line measurements (separate page)

Mismatch loss (separate page)

Standing waves in nature

Voltage standing waves

Other ways to express VSWR

Calculating VSWR from an impedance mismatch

Standing waves in nature

What's a standing wave? Luckily there are tons of examples in nature. Any stringed instrument such as a guitar or piano makes makes music using standing waves. But what about a traveling wave that reflects off of an object and creates a standing wave due to constructive interference? Let's go to the beach. Breakers roll in off the ocean, come up on the sand, and disappear; no standing wave occurs. What's happening? The beach is absorbing all (or at least most) of the energy, in effect it is "matched" to the wave front. Now let's go next door to marina where all of those expensive yachts are moored... chances are there are vertical concrete seawalls inside the marina to allow owners to bring their boats close enough so that only a small walkway is needed to get to them. Now notice the breakwater that extends around the marina, with only a narrow opening for boats to go in and out. That's there because the vertical walls in the marina offer near perfect reflection to moving waves (an "open circuit"). Without the breakwater wall (which absorbs energy) huge standing waves are possible due to constructive interference, and all those boats would bob up and down like crazy corks and eventually everything would get smashed to tiny bits.

If you live in Arizona, lakes that were created by flooding canyons can offer excellent standing waves to for you to jump in your annoying personal watercraft... BY FAR the roughest water can be found on Lake Powell. Lake Powell was made by flooding Glen Canyon, and a large amount of its shoreline consists of literally vertical cliffs. This lake gets way rougher than Lake Mead, for example, with similar wind speeds. Lake Mead has longer and wider channels than Lake Powell (which should allow larger waves to build up), but most of its shoreline is gently sloped. The vertical walls of Lake Powell act as "open circuits" to the water waves, whereas the sloped beaches at Lake Mead act like "loads".

Enough talk about beaches, water and boats, it's summer, and we've got to get back to work!

Breakwater doing its job

Voltage standing waves

Here's a great applet for visualizing the concept of the voltage standing wave ratio from our friends at Bessernet.Update October 2006: Rafael points out that the applet has been improved so that it knows the difference between an open circuit and a short circuit... we;d guess that the author reads Microwaves101! Here's the difference we are talking about: loads that are greater than Z₀ (such as reflection coefficient=1, which is an open circuit) have a peak VSWR at the interface, loads that are less than Z₀ (such a reflection coefficient=-1 which is a short circuit) have a null at the interface. Check it out!

http://www.bessernet.com/Ereflecto/tutorialFrameset.htm

Warning: this applet might not work if your browser is finicky! We were so intrigued by this applet that we created a version of it in Excel! OK, ours doesn't "move" like theirs, but you will find it more useful for generating graphics for presentations. Just remember where you got it, it's in our download area.

In the next three plots, we illustrate how a standing wave arises at a change in transmission line impedance (a mismatch). In the first plot, pretend that there is a reflection coefficient of magnitude 0.3 at the X-value of 25. It this point, 70% of the wave continues on (blue trace) and 30% of the wave is reflected backwards (purple trace). The composite wave is the simple addition of the forward and backward waves at distance<25. The wave forms here are instantaneous, meaning that you are looking at a single moment frozen in time. In real life the waves are continuously moving.

Now let's look at 20 snapshots in time, equally spaced in one wavelength. At this point we will ignore the forward wave after the interface, and just look at the composite wave at distance<25. What's this, a pattern is emerging?

Now using the "MAX" function of Excel, we can trap the maximum of all of the composites (just like a microwave detector would), and draw the standing wave:

From the Excel sheet, we get a peak of 1.299987 and a null of 0.697579. That's a standing wave ratio of 1.863569:1.

Let's check our math and recalculate the reflection coefficient from the Excel-generated VSWR:

= reflection coefficient=(VSWR-1)/(VSWR+1)

=(1.863569-1)/(1.863569+1)=0.301571

That's an error of less than 0.3 percent (the exact value of rho should be 0.3, remember?) Not bad considering we only "looked" at 10 snapshots in time.

For the record, let's look at the difference in wave patterns for a short circuit and an open circuit below (short circuit plot is first). Again, the mismatch is placed at X=25. Note that the minimum voltage of the standing wave in each case is zero, which means the standing wave ratio is infinite.

Now you can see the difference, the waves all go to zero at a short circuit, and go to a maximum at an open circuit.

Other ways to express VSWR

The reflection coefficient is what you'd read from a Smith chart. A reflection coefficient magnitude of zero is a perfect match, a value of one is perfect reflection. The symbol for reflection coefficient is uppercase Greek letter gamma (). Note that the reflection coefficient is a vector, so it includes an angle. Unlike VSWR, the reflection coefficient can distinguish between short and open circuits. A short circuit has a value of -1 (1 at an angle of 180 degrees), while an open circuit is one at an angle of 0 degrees. Quite often we refer to only the magnitude of the reflection coefficient. The symbol for this is the lower case Greek letter .

The return loss of a load is merely the magnitude of the reflection coefficient expressed in decibels. The correct equation for return loss is:

Return loss = -20 x log [mag()]

Thus in its correct form, return loss will usually be a positive number. If it's not, you can usually blame measurement error. The exception to the rule is something with negative resistance, which implies that it is an active device (external DC power is converted to RF) and it is potentially unstable (it could oscillate). Not something you have to worry about if you are just looking at coax cables! However, many engineers often omit the minus sign and talk about "-9.5 dB return loss" for example. People that find it necessary to correct engineers who do this have underwear that is too tight.

Here are the equations that convert between VSWR, reflection coefficient and return loss (as well as mismatch loss which we will cover later):

Let's end our discussion with a table of reflection VSWR, refection coefficient and return loss values (and remember that our VSWR calculator can provide any values you need). If you want to impress your friends, memorize as much of this table as you can. Yes, rounding off is permitted, Thanks for the correction, Dan!

Calculating VSWR from impedance mismatches

The mismatch of a load Z_L to a source Z₀ results in a reflection coefficient of:

=(Z_L-Z₀)/(Z_L+Z₀)

Note that the load can be a complex (real and imaginary) impedance. If you can't remember in which order the numerator is subtracted (did we just say "Z_L-Z₀" or Z₀-Z_L"?), you can always figure it out by remembering that a short circuit (Z_L=0) is on the left side of the Smith chart (angle = -180 degrees) which means =-1 in this case, which means that the minus sign belongs in front of Z₀.

The magnitude of the reflection coefficient is given by:

=mag()

For cases where Z_L is a real number,

=abs((Z_L-Z₀)/(Z_L+Z₀))

Note that "abs" means "absolute value" here. VSWR can be calculated from the magnitude of the reflection coefficient:

VSWR=(1+)/(1-)

For cases where Z_L is real, with a little algebra you'll see there are two cases for VSWR, calculated from load impedance:

For Z_L<Z₀: VSWR=Z₀/Z_L

For Z_L>Z₀: VSWR=Z_L/Z₀

Just remember to divide the larger impedance by the smaller impedance, because VSWR is always greater than 1. Hey, this calculation is so easy you can do it in your head!!!

Let's look at the special case where you mix up 50 ohm parts into a 75 ohm system (or vice-versa). In either case, the resulting VSWR is 1.5:1. Yes, we did that without a calculator. While we're at it, the reflection coefficient is:

                   =(75-50)/(75+50)=0.2

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原文链接( http://www.microwaves101.com/encyclopedia/vswr.cfm )

实践证明：史密斯圆图仍然是计算传输线阻抗的基本工具。

在处理RF系统的实际应用问题时，总会遇到一些非常困难的工作，对各部分级联电路的不同阻抗进行匹配就是其中之一。一般情况下，需要进行匹配的电路包括天线与低噪声放大器(LNA)之间的匹配、功率放大器输出(RFOUT)与天线之间的匹配、LNA/VCO输出与混频器输入之间的匹配。匹配的目的是为了保证信号或能量有效地从“信号源”传送到“负载”。

在高频端，寄生元件(比如连线上的电感、板层之间的电容和导体的电阻)对匹配网络具有明显的、不可预知的影响。频率在数十兆赫兹以上时，理论计算和仿真已经远远不能满足要求，为了得到适当的最终结果，还必须考虑在实验室中进行的RF测试、并进行适当调谐。需要用计算值确定电路的结构类型和相应的目标元件值。

有很多种阻抗匹配的方法，包括:

• 计算机仿真: 由于这类软件是为不同功能设计的而不只是用于阻抗匹配，所以使用起来比较复杂。设计者必须熟悉用正确的格式输入众多的数据。设计人员还需要具有从大量的输出结果中找到有用数据的技能。另外，除非计算机是专门为这个用途制造的，否则电路仿真软件不可能预装在计算机上。
• 手工计算: 这是一种极其繁琐的方法，因为需要用到较长(“几公里”)的计算公式、并且被处理的数据多为复数。
• 经验: 只有在RF领域工作过多年的人才能使用这种方法。总之，它只适合于资深的专家。
• 史密斯圆图: 本文要重点讨论的内容。

本文的主要目的是复习史密斯圆图的结构和背景知识，并且总结它在实际中的应用方法。讨论的主题包括参数的实际范例，比如找出匹配网络元件的数值。当然，史密斯圆图不仅能够为我们找出最大功率传输的匹配网络，还能帮助设计者优化噪声系数，确定品质因数的影响以及进行稳定性分析。

图1. 阻抗和史密斯圆图基础

基础知识

在介绍史密斯圆图的使用之前，最好回顾一下RF环境下(大于100MHz) IC连线的电磁波传播现象。这对RS-485传输线、PA和天线之间的连接、LNA和下变频器/混频器之间的连接等应用都是有效的。

大家都知道，要使信号源传送到负载的功率最大，信号源阻抗必须等于负载的共轭阻抗，即：

R_s + jX_s = R_L - jX_L

图2. 表达式R_s + jX_s = R_L - jX_L的等效图

在这个条件下，从信号源到负载传输的能量最大。另外，为有效传输功率，满足这个条件可以避免能量从负载反射到信号源，尤其是在诸如视频传输、RF或微波网络的高频应用环境更是如此。

史密斯圆图

史密斯圆图是由很多圆周交织在一起的一个图。正确的使用它，可以在不作任何计算的前提下得到一个表面上看非常复杂的系统的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿着圆周线读取并跟踪数据。

史密斯圆图是反射系数(伽马，以符号表示)的极座标图。反射系数也可以从数学上定义为单端口散射参数，即s₁₁。

史密斯圆图是通过验证阻抗匹配的负载产生的。这里我们不直接考虑阻抗，而是用反射系数_L，反射系数可以反映负载的特性(如导纳、增益、跨导)，在处理RF频率的问题时，_L更加有用。

我们知道反射系数定义为反射波电压与入射波电压之比:

图3. 负载阻抗

负载反射信号的强度取决于信号源阻抗与负载阻抗的失配程度。反射系数的表达式定义为：

由于阻抗是复数，反射系数也是复数。

为了减少未知参数的数量，可以固化一个经常出现并且在应用中经常使用的参数。这里Z_o (特性阻抗)通常为常数并且是实数，是常用的归一化标准值，如50、75、100和600。于是我们可以定义归一化的负载阻抗：

据此，将反射系数的公式重新写为：

从上式我们可以看到负载阻抗与其反射系数间的直接关系。但是这个关系式是一个复数，所以并不实用。我们可以把史密斯圆图当作上述方程的图形表示。

为了建立圆图，方程必需重新整理以符合标准几何图形的形式(如圆或射线)。

首先，由方程2.3求解出；

并且

令等式2.5的实部和虚部相等，得到两个独立的关系式：

重新整理等式2.6，经过等式2.8至2.13得到最终的方程2.14。这个方程是在复平面(r, i)上、圆的参数方程(x-a)² + (y-b)² = R²，它以(r/r+1, 0)为圆心，半径为1/1+r.

更多细节参见图4a。

图4a. 圆周上的点表示具有相同实部的阻抗。例如，R＝1的圆，以(0.5, 0)为圆心，半径为0.5。它包含了代表反射零点的原点(0, 0) (负载与特性阻抗相匹配）。以(0，0)为圆心、半径为1的圆代表负载短路。负载开路时，圆退化为一个点(以1，0为圆心，半径为零)。与此对应的是最大的反射系数1，即所有的入射波都被反射回来。

在作史密斯圆图时，有一些需要注意的问题。下面是最重要的几个方面：

• 所有的圆周只有一个相同的，唯一的交点(1, 0)。
• 代表0、也就是没有电阻(r = 0)的圆是最大的圆。
• 无限大的电阻对应的圆退化为一个点(1, 0)
• 实际中没有负的电阻，如果出现负阻值，有可能产生振荡。
• 选择一个对应于新电阻值的圆周就等于选择了一个新的电阻。

作图

经过等式2.15至2.18的变换，2.7式可以推导出另一个参数方程，方程2.19。

同样，2.19也是在复平面(r, i)上的圆的参数方程(x-a)² + (y-b)² = R²,它的圆心为(1, 1/x)，半径1/x。

更多细节参见图4b。

图4b. 圆周上的点表示具有相同虚部x的阻抗。例如，x=1的圆以(1, 1)为圆心，半径为1。所有的圆(x为常数)都包括点(1, 0)。与实部圆周不同的是，x既可以是正数也可以是负数。这说明复平面下半部是其上半部的镜像。所有圆的圆心都在一条经过横轴上1点的垂直线上。

完成圆图

为了完成史密斯圆图，我们将两簇圆周放在一起。可以发现一簇圆周的所有圆会与另一簇圆周的所有圆相交。若已知阻抗为r + jx，只需要找到对应于r和x的两个圆周的交点就可以得到相应的反射系数。

可互换性

上述过程是可逆的，如果已知反射系数，可以找到两个圆周的交点从而读取相应的r和x的值。过程如下：

• 确定阻抗在史密斯圆图上的对应点
• 找到与此阻抗对应的反射系数 ()
• 已知特性阻抗和，找出阻抗
• 将阻抗转换为导纳
• 找出等效的阻抗
• 找出与反射系数对应的元件值(尤其是匹配网络的元件，见图7)

推论

因为史密斯圆图是一种基于图形的解法，所得结果的精确度直接依赖于图形的精度。下面是一个用史密斯圆图表示的RF应用实例：

例: 已知特性阻抗为50，负载阻抗如下：

Z1 = 100 + j50	Z2 = 75 -j100	Z3 = j200	Z4 = 150
Z5 = (开路)	Z6 = 0 (短路)	Z7 = 50	Z8 = 184 -j900

对上面的值进行归一化并标示在圆图中(见图5)：

点击看大图 (PDF, 502K)

图5. 史密斯圆图上的点

现在可以通过图5的圆图直接解出反射系数。画出阻抗点(等阻抗圆和等电抗圆的交点)，只要读出它们在直角坐标水平轴和垂直轴上的投影，就得到了反射系数的实部r和虚部i (见图6)。

该范例中可能存在八种情况，在图6所示史密斯圆图上可以直接得到对应的反射系数：

1 = 0.4 + 0.2j	2 = 0.51 - 0.4j	3 = 0.875 + 0.48j	4 = 0.5
5 = 1	6 = -1	7 = 0	8 = 0.96 - 0.1j

图6. 从X-Y轴直接读出反射系数的实部和虚部

用导纳表示

史密斯圆图是用阻抗(电阻和电抗)建立的。一旦作出了史密斯圆图，就可以用它分析串联和并联情况下的参数。可以添加新的串联元件，确定新增元件的影响只需沿着圆周移动到它们相应的数值即可。然而，增加并联元件时分析过程就不是这么简单了，需要考虑其它的参数。通常，利用导纳更容易处理并联元件。

我们知道，根据定义Y = 1/Z，Z = 1/Y。导纳的单位是姆欧或者^-1 (早些时候导纳的单位是西门子或S)。并且，如果Z是复数，则Y也一定是复数。

所以Y = G + jB (2.20),其中G叫作元件的“电导”，B称“电纳”。在演算的时候应该小心谨慎，按照似乎合乎逻辑的假设，可以得出：G = 1/R及B = 1/X，然而实际情况并非如此，这样计算会导致结果错误。

用导纳表示时，第一件要做的事是归一化， y = Y/Y_o，得出 y = g + jb。但是如何计算反射系数呢？通过下面的式子进行推导：

结果是G的表达式符号与z相反，并有(y) = -(z).

如果知道z，就能通过将的符号取反找到一个与(0，0)的距离相等但在反方向的点。围绕原点旋转180°可以得到同样的结果。(见图7).

图7. 180°度旋转后的结果

当然，表面上看新的点好像是一个不同的阻抗，实际上Z和1/Z表示的是同一个元件。(在史密斯圆图上，不同的值对应不同的点并具有不同的反射系数，依次类推)出现这种情况的原因是我们的图形本身是一个阻抗图，而新的点代表的是一个导纳。因此在圆图上读出的数值单位是姆欧。

尽管用这种方法就可以进行转换，但是在解决很多并联元件电路的问题时仍不适用。

导纳圆图

在前面的讨论中，我们看到阻抗圆图上的每一个点都可以通过以复平面原点为中心旋转180°后得到与之对应的导纳点。于是，将整个阻抗圆图旋转180°就得到了导纳圆图。这种方法十分方便，它使我们不用建立一个新图。所有圆周的交点(等电导圆和等电纳圆)自然出现在点(-1, 0)。使用导纳圆图，使得添加并联元件变得很容易。在数学上，导纳圆图由下面的公式构造：

解这个方程

接下来，令方程3.3的实部和虚部相等，我们得到两个新的独立的关系：

从等式3.4，我们可以推导出下面的式子：

它也是复平面 (r, i)上圆的参数方程(x-a)² + (y-b)² = R² (方程3.12)，以(-g/g+1, 0)为圆心，半径为1/(1+g)。

从等式3.5，我们可以推导出下面的式子：

同样得到(x-a)² + (y-b)² = R²型的参数方程(方程3.17)。

求解等效阻抗

当解决同时存在串联和并联元件的混合电路时，可以使用同一个史密斯圆图，在需要进行从z到y或从y到z的转换时将图形旋转。

考虑图8所示网络(其中的元件以Z_o=50进行了归一化)。串联电抗(x)对电感元件而言为正数，对电容元件而言为负数。而电纳(b)对电容元件而言为正数，对电感元件而言为负数。

图8. 一个多元件电路

这个电路需要进行简化(见图9)。从最右边开始，有一个电阻和一个电感，数值都是1，我们可以在r＝1的圆周和I＝1的圆周的交点处得到一个串联等效点，即点A。下一个元件是并联元件，我们转到导纳圆图(将整个平面旋转180°)，此时需要将前面的那个点变成导纳，记为A'。现在我们将平面旋转180°，于是我们在导纳模式下加入并联元件，沿着电导圆逆时针方向(负值)移动距离0.3，得到点B。然后又是一个串联元件。现在我们再回到阻抗圆图。

图9. 将图8网络中的元件拆开进行分析

在返回阻抗圆图之前，还必需把刚才的点转换成阻抗(此前是导纳)，变换之后得到的点记为B'，用上述方法，将圆图旋转180°回到阻抗模式。沿着电阻圆周移动距离1.4得到点C就增加了一个串联元件，注意是逆时针移动(负值)。进行同样的操作可增加下一个元件(进行平面旋转变换到导纳)，沿着等电导圆顺时针方向(因为是正值)移动指定的距离(1.1)。这个点记为D。最后，我们回到阻抗模式增加最后一个元件(串联电感)。于是我们得到所需的值，z，位于0.2电阻圆和0.5电抗圆的交点。至此，得出z＝0.2 + j0.5。如果系统的特性阻抗是50,有 Z = 10 + j25 (见图10)。

点击看大图(PDF, 600K)

图10. 在史密斯圆图上画出的网络元件

逐步进行阻抗匹配

史密斯圆图的另一个用处是进行阻抗匹配。这和找出一个已知网络的等效阻抗是相反的过程。此时，两端(通常是信号源和负载)阻抗是固定的，如图12所示。我们的目标是在两者之间插入一个设计好的网络已达到合适的阻抗匹配。

图11. 阻抗已知而元件未知的典型电路

初看起来好像并不比找到等效阻抗复杂。但是问题在于有无限种元件的组合都可以使匹配网络具有类似的效果，而且还需考虑其它因素(比如滤波器的结构类型、品质因数和有限的可选元件)。

实现这一目标的方法是在史密斯圆图上不断增加串联和并联元件、直到得到我们想要的阻抗。从图形上看，就是找到一条途径来连接史密斯圆图上的点。同样，说明这种方法的最好办法是给出一个实例。

我们的目标是在60MHz工作频率下匹配源阻抗(Z_S)和负载阻抗(Z_L) (见图12)。网络结构已经确定为低通，L型(也可以把问题看作是如何使负载转变成数值等于Z_S的阻抗，即ZS复共轭)。下面是解的过程：

点击看大图(PDF, 537K)

图12. 图11的网络，将其对应的点画在史密斯圆图上

要做的第一件事是将各阻抗值归一化。如果没有给出特性阻抗，选择一个与负载/信号源的数值在同一量级的阻抗值。假设 Z_o为50。于是 z_S = 0.5 -j0.3, z*_S = 0.5 + j0.3, Z_L = 2 -j0.5。

下一步，在图上标出这两个点，A代表z_L，D代表Z*_S

然后判别与负载连接的第一个元件(并联电容)，先把zL转化为导纳，得到点A'。

确定连接电容C后下一个点出现在圆弧上的位置。由于不知道C的值，所以我们不知道具体的位置，然而我们确实知道移动的方向。并联的电容应该在导纳圆图上沿顺时针方向移动、直到找到对应的数值，得到点B (导纳)。下一个元件是串联元件，所以必需把B转换到阻抗平面上去，得到B'。B'必需和D位于同一个电阻圆上。从图形上看，从A'到D只有一条路径，但是如果要经过中间的B点(也就是B')，就需要经过多次的尝试和检验。在找到点B和B'后，我们就能够测量A'到B和B'到D的弧长，前者就是C的归一化电纳值，后者为L的归一化电抗值。A'到B的弧长为b = 0.78，则B = 0.78 x Y_o = 0.0156姆欧。因为C = B,所以 C = B/ = B/(2 f) = 0.0156/(2 60⁷) = 41.4pF。B到D的弧长为 x = 1.2,于是 X = 1.2 × Z_o = 60.由L = X, 得 L = X/ = X/(2 f) = 60/(2 60⁷) = 159nH。

总结

在拥有功能强大的软件和高速、高性能计算机的今天，人们会怀疑在解决电路基本问题的时候是否还需要这样一种基础和初级的方法。

实际上，一个真正的工程师不仅应该拥有理论知识，更应该具有利用各种资源解决问题的能力。在程序中加入几个数字然后得出结果的确是件容易的事情，当问题的解十分复杂、并且不唯一时，让计算机作这样的工作尤其方便。然而，如果能够理解计算机的工作平台所使用的基本理论和原理，知道它们的由来，这样的工程师或设计者就能够成为更加全面和值得信赖的专家，得到的结果也更加可靠。

本文的相似版本发表在2000年7月的RF Design上。

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原文链接( http://www.elecfans.com/article/84/148/2006/200605074729.html )