IT博客-无业бю游民-随笔分类-ACM/ICPC_DP(动态规划)http://www.cnitblog.com/weiweibbs/category/7505.htmlhobozh-cnTue, 27 Sep 2011 02:06:00 GMTTue, 27 Sep 2011 02:06:00 GMT60最长递增子序列问题的求解http://www.cnitblog.com/weiweibbs/archive/2008/08/10/47866.htmlhobohoboSun, 10 Aug 2008 06:46:00 GMThttp://www.cnitblog.com/weiweibbs/archive/2008/08/10/47866.htmlhttp://www.cnitblog.com/weiweibbs/comments/47866.htmlhttp://www.cnitblog.com/weiweibbs/archive/2008/08/10/47866.html#Feedback0http://www.cnitblog.com/weiweibbs/comments/commentRss/47866.htmlhttp://www.cnitblog.com/weiweibbs/services/trackbacks/47866.html　　设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。
　　二， 第一种算法：转化为LCS问题求解
　　设序列X=<b1,b2,…,bn>是对序列L=<a1,a2,…,an>按递增排好序的序列。那么显然X与L的最长公共子序列即为L的最长递增子序列。这样就把求最长递增子序列的问题转化为求最长公共子序列问题LCS了。
　　最长公共子序列问题用动态规划的算法可解。设Li=< a1,a2,…,ai>,Xj=< b1,b2,…,bj>，它们分别为L和X的子序列。令C[i,j]为Li与Xj的最长公共子序列的长度。则有如下的递推方程：
　　这可以用时间复杂度为O(n2)的算法求解，由于这个算法上课时讲过，所以具体代码在此略去。求最长递增子序列的算法时间复杂度由排序所用的O(nlogn)的时间加上求LCS的O(n2)的时间，算法的最坏时间复杂度为O(nlogn)＋O(n2)＝O(n2)。
　　三， 第二种算法：动态规划法
　　设f(i)表示L中以ai为末元素的最长递增子序列的长度。则有如下的递推方程：
　　这个递推方程的意思是，在求以ai为末元素的最长递增子序列时，找到所有序号在L前面且小于ai的元素aj，即j<i且aj<ai。如果这样的元素存在，那么对所有aj,都有一个以aj为末元素的最长递增子序列的长度f(j)，把其中最大的f(j)选出来，那么f(i)就等于最大的f(j)加上1，即以ai为末元素的最长递增子序列，等于以使f(j)最大的那个aj为末元素的递增子序列最末再加上ai；如果这样的元素不存在，那么ai自身构成一个长度为1的以ai为末元素的递增子序列。
　　这个算法由Java实现的代码如下：
　　public void lis(float[] L)
　　 {
　　 int n = L.length;
　　 int[] f = new int[n];//用于存放f(i)值；
　　 f[0]=1;//以第a1为末元素的最长递增子序列长度为1；
　　 for(int i = 1;i<n;i++)//循环n-1次
　　 {
　　 f[i]=1;//f[i]的最小值为1；
　　 for(int j=0;j<i;j++)//循环i 次
　　 {
　　 if(L[j]<L[i]&&f[j]>f[i]-1)
　　 f[i]=f[j]+1;//更新f[i]的值。
　　 }
　　 }
　　 System.out.println(f[n-1]);
　　 }
　　这个算法有两层循环，外层循环次数为n-1次，内层循环次数为i次，算法的时间复杂度
　　所以T(n)=O(n2)。这个算法的最坏时间复杂度与第一种算法的阶是相同的。但这个算法没有排序的时间，所以时间复杂度要优于第一种算法。
　　四， 对第二种算法的改进
　　在第二种算法中，在计算每一个f(i)时，都要找出最大的f(j)(j<i)来，由于f(j)没有顺序，只能顺序查找满足aj<ai最大的f(j)，如果能将让f(j)有序，就可以使用二分查找，这样算法的时间复杂度就可能降到O(nlogn)。于是想到用一个数组B来存储“子序列的”最大递增子序列的最末元素，即有
　　B[f(j)] = aj
　　在计算f(i)时，在数组B中用二分查找法找到满足j<i且B[f(j)]=aj<ai的最大的j,并将B[f[j]+1]置为ai。下面先写出代码，再证明算法的证明性。用Java实现的代码如下：
　　lis1(float[] L)
　　{
　　 int n = L.length;
　　 float[] B = new float[n+1];//数组B；
　　 B[0]=-10000;//把B[0]设为最小，假设任何输入都大于-10000；
　　 B[1]=L[0];//初始时，最大递增子序列长度为1的最末元素为a1
　　 int Len = 1;//Len为当前最大递增子序列长度，初始化为1；
　　 int p,r,m;//p,r,m分别为二分查找的上界，下界和中点；
　　 for(int i = 1;i<n;i++)
　　 {
　　 p=0;r=Len;
　　 while(p<=r)//二分查找最末元素小于ai+1的长度最大的最大递增子序列；
　　 {
　　 m = (p+r)/2;
　　 if(B[m]<L[i]) p = m+1;
　　 else r = m-1;
　　 }
　　 B[p] = L[i];//将长度为p的最大递增子序列的当前最末元素置为ai+1;
　　 if(p>Len) Len++;//更新当前最大递增子序列长度；
　　
　　
　　 }
　　 System.out.println(Len);
　　}


hobo 2008-08-10 14:46 发表评论
]]>